Question

（本小题满分15分）设函数，（其中为实常数且），曲线在点处的切线方程为.

(Ⅰ) 若函数无极值点且存在零点，求的值；

(Ⅱ) 若函数有两个极值点，证明的极小值小于.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ），

由题得，

即．

此时，；[来源:]

由无极值点且存在零点，得

解得，于是，．……………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个极值点，只要方程有两个不等正根，

那么实数应满足 ，解得，

设两正根为，且，可知当时有极小值．其中这里由于对称轴为，所以，且，得

记，，

有对恒成立，

又，故对恒有，即．

所以有

而对于恒成立，

即在上单调递增，故．……………………………15分

 

【解析】略