题目内容

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=b2，设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为Q，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）①若$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，求椭圆的离心率e；
②若椭圆上存在点P，使得∠APB=60°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于M，N，求△MON面积的最小值．

分析 （1）①若$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，则△QF1F2为等腰直角三角形，可得b=c，即可得出离心率．
②由椭圆上存在点P，使得∠APB=60°，连接OA，OB，OP．则OA⊥AP，OB⊥BP，且∠APO=30°．可得OP=2OA=2b，2b≤a，利用离心率计算公式即可得出．
（2）连接OA，OB，OP．则OA⊥AP，OB⊥BP．可得O，A，P，B四点共圆．设P（acosθ，bsinθ），（θ∈[0，2π）），其圆的方程为$（x-\frac{acosθ}{2}）^{2}+（y-\frac{bsinθ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}co{s}^{2}θ+{b}^{2}si{n}^{2}θ）$，化简与x2+y2=b2联立可得：xacosθ+ybsinθ=b2，即为直线AB的方程．（cosθ•sinθ≠0）．分别令y=0，x=0，可得M$（\frac{{b}^{2}}{acosθ}，0）$，N$（0，\frac{b}{sinθ}）$．再利用三角形面积计算公式、倍角公式即可得出．

解答 解：（1）①若$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$，则△QF1F2为等腰直角三角形，
∴b=c，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②由椭圆上存在点P，使得∠APB=60°，
连接OA，OB，OP．则OA⊥AP，OB⊥BP，且∠APO=30°．
∴OP=2OA=2b，∴2b≤a，
∴$e=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又e＜1，
∴$e∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，1）$．
（2）连接OA，OB，OP．则OA⊥AP，OB⊥BP．
可得O，A，P，B四点共圆．
设P（acosθ，bsinθ），（θ∈[0，2π）），其圆的方程为$（x-\frac{acosθ}{2}）^{2}+（y-\frac{bsinθ}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}co{s}^{2}θ+{b}^{2}si{n}^{2}θ）$，
化为x2+y2-xacosθ-ybsinθ=0，与x2+y2=b2联立可得：
xacosθ+ybsinθ=b2，即为直线AB的方程．（cosθ•sinθ≠0）．
分别令y=0，x=0，可得M$（\frac{{b}^{2}}{acosθ}，0）$，N$（0，\frac{b}{sinθ}）$．
S△OMN=$\frac{1}{2}\frac{{b}^{2}}{a|cosθ|}•\frac{b}{|sinθ|}$=$\frac{{b}^{3}}{a•|sin2θ|}$≥$\frac{{b}^{3}}{a}$．
当cosθsinθ=0时不符合题意，舍去．
∴△OMN面积的最小值为$\frac{{b}^{3}}{a}$．此时sin2θ=±1．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、两圆的根轴问题、三角形面积计算公式、倍角公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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