Question

已知等差数列{a_n}的公差d＞0，且a₄+a₆=10，a₄•a₆=24．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

an•an+1

(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n≥M对任意n∈N*恒成立，求整数M的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意知

(a1+3d)+(a1+5d) =10 (a1+3d)(a1+5d) =24

，由此可求出．数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=

1

an•an+1

，n∈N*，a_n=n，知bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此可知T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．由此能够导出M的最大值是0．

解答：解：（Ⅰ）依题意知

(a1+3d)+(a1+5d) =10 (a1+3d)(a1+5d) =24

，
∵d＞0，∴a₁=1，d=1．∴a_n=n，n∈N^*．
（Ⅱ）∵bn=

1

an•an+1

，n∈N*，a_n=n，
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

2

) +(

1

2

-

1

3

)  +…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
由T_n≥M对一切实数恒成立，即1-

1

n+1

≥M对一切n∈N^*恒成立．
当n∈N^*时，∵Tn+1-Tn=(1-

1

n+2

)-(1-

1

n+1

) =

1

n+1

-

1

n+2

＞0，
∴数列T_n是增数列，故由T_n≥M对一切实数恒成立可得T₁≥M，即M≤

1

2

．
又M∈Z，故M的最大值是0．

点评：本题考查等差数列的概念、通项公式、数列求和、数列单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力．