题目内容

【题目】已知椭圆E:的一个焦点为,长轴与短轴的比为2:1.直线与椭圆E交于PQ两点,其中为直线的斜率.

(1)求椭圆E的方程;

(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线的斜率取何值,定圆O恒与直线相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1) (2)存在,.的取值范围是

【解析】

（1）根据题意直接计算出得到答案.

（2）设直线OP的方程为:点的坐标为,则,联立方程组，设坐标原点O到直线的距离为d,则有，得到，计算得到答案.

(1)由已知得:解得:椭圆E的方程为

(2)假设存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切.

这时只需证明坐标原点O到直线的距离为定值即可.

设直线OP的方程为:点的坐标为,则,

联立方程组

①

以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,

,直线OQ的方程为:

在①式中以换t,得②

又由知:

设坐标原点O到直线的距离为d,则有

又当直线OP与轴重合时,此时

由坐标原点O到直线的距离为定值知,所以存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与直线相切,定圆O的方程为:.

直线与轴交点为,且点不可能在圆O内,又当k=0时,直线与定圆O切于点,所以的取值范围是

练习册系列答案
相关题目

【题目】设函数， .

（1）当时， 在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【题目】已知椭圆C:l(a>b>0)经过点(,1),且离心率e.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l与椭圆C相交于AB两点,且满足∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.

【题目】已知数列的前项和为，满足，且．正项数列满足，其前7项和为42．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；

（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前项和．

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：．

【题目】如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，.平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.

（1）求证：平面ABC；

（2）求证：平面平面ABD.

【题目】如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值

【题目】设定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若为周期函数，证明：是常值函数；

（3）若

①记，求数列的通项公式；

②求的值.

【题目】椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如果直线l的斜率等于-1，求出k1k2的值；

（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网