Question

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．（1）若c_n=n，n∈N^*，求数列{b_n}的通项公式；（2）若A∩B=∅，数列{c_n}的前5项成等比数列，且c₁=1，c₉=8，求

cn+1

cn

＞

5

4

的正整数n的个数．

Answer 1

分析：（1）根据已知数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1，数列{b_n}是等差数列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c_n}．若c_n=n，n∈N^*，对元素3、5、6、7进行分析，得出数列{b_n}是公差为1的等差数列．分类求出即可．
（2）若A∩B=∅，数列{c_n}的前5项成等比数列，且c₁=1，c₉=8，对元素2进行分类讨论，从而求得

cn+1

cn

＞

5

4

的正整数n的个数．

解答：解：（1）若c_n=n，因为5，6，7∉A，则5，6，7∈B，由此可见，
等差数列{b_n}的公差为1，而3是数列{b_n}中的项，
所以3只可能是数列{b_n}中的第1，2，3项，
若b₁=3，则b_n=n+2，
若b₂=3，则b_n=n+1，
若b₃=3，则b_n=n；
（2）首先对元素2进行分类讨论：
①若c₂=2，由{c_n}的前5项成等比数列，得c₄=2³=8=c₉，这显然不可能；
②若c₃=2，由{c_n}的前5项成等比数列，得b₁²=2，
因为数列{c_n}是将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的，
所以b_n＞0，则b1=

2

，因此数列{c_n}的前5项分别为1，

2

，2，2

2

，4，
这样bn=

2

n，则数列{c_n}的前9项分别为1，

2

，2，2

2

，4，3

2

，4

2

，5

2

，
上述数列符合要求；
③若c_k=2（k≥4），则b₂-b₁＜2-1，
即数列{b_n}的公差d＜1，
所以b₆=b₁+5d＜2+5=7，1，2，4＜c₉，所以1，2，4在数列{c_n}的
前8项中，由于A∩B=∅，这样，b₁，b₂，b₆以及1，2，4共9项，
它们均小于8，即数列{c_n}的前9项均小于8，这与c₉=8矛盾．
综上所述，bn=

2

n，
其次，当n≤4时，

cn+1

cn

=

2

＞

5

4

，

c6

c5

=

3 2

4

＜

5

4

，

c7

c6

=

4

3

＞

5

4

，
当n≥7时，cn≥4

2

，因为{a_n}是公差为

2

的等差数列，
所以cn+1-cn≤

2

，
所以

cn+1

cn

=

cn+cn+1-cn

cn

=1+

cn+1-cn

cn

≤1+

2

4 2

=

5

4

，
此时的n不符合要求．
所以符合要求的n一共有5个．

点评：考查等差数列和等比数列的综合运用，对元素3的情况采取分类讨论的方法求得数列{b_n}的通项公式，体现分类讨论的思想；对于（2）的探讨，除了分类讨论以外，还采用了反证法解决问题，体现了方法的灵活性，增加了题目的难度，属难题．