Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c且f（1）=0，判断函数f（x）的图象与x轴公共点的个数；
（2）证明：若对x₁，x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），则方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

必有一实根在区间（x₁，x₂）内；
（3）在（1）的条件下，设f（x）=0的另一根为x₀，若方程f（x）+a=0有解证明-2＜x₀≤-1．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，可得判别式△=（a-c）²＞0，可得f（x）的图象与x轴有两个相异交点．
（2）证明：令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，求得 g（x₁）g（x₂）=

f(x1)-f(x2)

2

•

-f(x1)+f(x2)

2

＜0，可得函数g（x）必在区间（x₁，x₂）内有零点，从而得到方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

必有一实根在区间（x₁，x₂）内．
（3）根据方程f（x）+a=0有解，可得△≥0，解得c-3a＜0，且-b=a+c≤0，从而得到 b≥0，0≤

b

a

＜1．再由根与系数的关系得：x₀+1=-

b

a

∈（-1，0]，可得 x₀∈（-2，-1]．

解答：解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，a＞b＞c，∴判别式△=b²-4ac=（a-c）²＞0，
∴f（x）的图象与x轴有两个相异交点．…（4分）
（2）证明：令g（x）=f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

，则 g（x₁）g（x₂）=[f（x₁）-

f(x1)+f(x2)

2

]•[f（x₂）-

f(x1)+f(x2)

2

]
=

f(x1)-f(x2)

2

•

-f(x1)+f(x2)

2

＜0，
故函数g（x）必在区间（x₁，x₂）内有零点，
因此方程f（x）=

f(x1)+f(x2)

2

 必有一实根在区间（x₁，x₂）内．…（8分）
（3）证明：方程f（x）+a=ax²+bx+a+c=0有解，∴△=b²-4a（a+c）=-（a+c）²-4a（a+c）=（c+a）（c-3a）≥0．…（10分）
∵a＞b＞c，∴c-3a＜0，∴-b=a+c≤0，∴b≥0，∴0≤

b

a

＜1．…（12分）
再由根与系数的关系得：x₀+1=-

b

a

，∴x₀+1∈（-1，0]，
∴x₀∈（-2，-1]．…（14分）

点评：本题主要考查函数的零点与方程的跟的关系，二次函数的性质应用，属于中档题．