题目内容
已知数列{an}满足：
，
．
⑴求数列{an}的通项公式； ⑵证明：
⑶设
，且
，证明：
．
（1）
（2）（3）见解析
解析:
：⑴由
，得
令
，有
∴
＝
＝
又b1＝2a1＝2，
∴
∴
⑵证法1：(数学归纳法)
1°，当n＝1时，a1＝1，满足不等式
2°，假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立
即
，那么
即
又
由1°，2°可知，n∈N*，都有
成立
⑵证法2：由⑴知：
(可参照给分)
∵
，
，∴
∵
∵
∴
∴
当n＝1时，
，综上
⑵证法3：
∴{an}为递减数列 当n＝1时，an取最大值 ∴an≤1
由⑴中知
综上可知
⑶
欲证：
即证
即ln(1＋Tn)－Tn＜0，构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x
∵
当x＞0时，f ' (x)＜0
∴函数y＝f (x)在(0，＋∞)内递减∴f (x)在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0
∴当x≥0时，ln(1＋x)－x≤0又∵Tn＞0，∴ln(1＋Tn)－Tn＜0∴不等式成立
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