Question

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n3ⁿ（x∈R）．求数列{b_n}前n项和的公式．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项公式将已知等式用公差表示，列出方程求出公差，利用等差数列的通项公式求出通项．
（II）由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的乘积，利用错位相减法求前n项和．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}公差为d，则 a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，又a₁=2，d=2．所以a_n=2n．
（Ⅱ）由b_n=a_n3ⁿ=2n3ⁿ，得   
 S_n=2•3+4•3²+…（2n-2）3^n-1+2n•3ⁿ，①
3S_n=2•3²+4•3³+…+（2n-2）•3ⁿ+2n•3ⁿ⁺¹．②
将①式减去②式，得
-2S_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2n•3ⁿ⁺¹=-3（3ⁿ-1）-2n•3ⁿ⁺¹．
所以Sn=

3(1-3n)

2

+n•3n+1．

点评：求数列的前n项和时，首先判断数列的通项的特点，然后选择合适的方法求和．