题目内容
已知向量
=（1，2），
=（-2，x）．
（Ⅰ）当x=-1时，求向量
与
的夹角的余弦值；
（Ⅱ）当
⊥（4
+
）时，求|
|．
| a |
| b |
（Ⅰ）当x=-1时，求向量
| a |
| b |
（Ⅱ）当
| a |
| a |
| b |
| b |
分析：（Ⅰ）当x=-1时，先计算出
，|
|，
•
，再利用cosθ=
求解即可．
（2）当
⊥（4
+
）时，则有
•（4
+
）=0．利用数量积的坐标表示求出x，确定出
，再求模即可．
| |a| |
| b |
| a |
| b |
| ||||
|
|
（2）当
| a |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
解答：解：（Ⅰ）∵x=-1，∴a•b=1×（-2）+2×（-1）=-4，|
|=
，|
|=
．
∴向量a与向量b的夹角的余弦值为
cosθ=
=-
（4分）
（Ⅱ）当
⊥（4
+
），
•（4
+
）=0．
时依题意4
+
=（2，8+x），∴
•（4
+
）=0．
∴2+16+2x=0．∴x=-9．∴b=（-2，-9）．
∴|b|=
=
．（9分）
| a |
| 5 |
| b |
| 5 |
∴向量a与向量b的夹角的余弦值为
cosθ=
| ||||
|
|
| 4 |
| 5 |
（Ⅱ）当
| a |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
时依题意4
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
∴2+16+2x=0．∴x=-9．∴b=（-2，-9）．
∴|b|=
| 4+81 |
| 85 |
点评：本题考查向量运算、垂直关系的坐标表示，向量夹角求解、向量模的计算．属于基础题．
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