题目内容

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知m=（cos $数学公式$ ，sin $数学公式$ ），n=（cos $数学公式$ ，sin $数学公式$ ），且满足|m+n|= $数学公式$ ．
（1）求角A的大小；
（2）若| $数学公式$ |+| $数学公式$ |= $数学公式$ | $数学公式$ |，试判断△ABC的形状．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
即1+1+2（cos $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +sin $\text{[math]}$ sin $\text{[math]}$ ）=3，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，∵0＜A＜π，∴A= $\text{[math]}$ ．
（2）∵| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |，
∴b+c= $\text{[math]}$ a，
由正弦定理可得，sinB+sinC= $\text{[math]}$ sinA，
∴sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ sinB+ $\text{[math]}$ cosB= $\text{[math]}$ ，
∴sin（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∵0＜B＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜B+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴B+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，故B= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
当B= $\text{[math]}$ 时，C= $\text{[math]}$ ；当B= $\text{[math]}$ 时，C= $\text{[math]}$ ．
故△ABC是直角三角形．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 整理可得cosA= $\text{[math]}$ 结合0＜A＜π可求A= $\text{[math]}$ ．
（2）由已知可得b+c= $\text{[math]}$ a结合正弦定理可得，sinB+sinC= $\text{[math]}$ sinA，从而有sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，
sin（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．由0＜B＜ $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ＜B+ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，结合正弦函数的性质可求B，进一步可求C，判断三角形的形状
点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题．