Question

已知函数f(x)=

2

3

x3-x．
（1）试在函数f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（2）求证：|f(sinx)-f(cosx)|≤

2 2

3

（x∈R）

Answer 1

分析：（1）设所求两点的横坐标为x₁、x₂再利用切线的斜率之积为1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得结果；
（2）因为|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求证|f(sinx)-f(cosx)|≤

2 2

3

（x∈R），只须探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范围即可，故只要利用导数研究函数f（x）的单调性即可．

解答：解：（1）设所求两点的横坐标为x₁，x₂且 （x₁＜x₂），则：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，
又∵x₁，x₂∈[-1，1]．∴2x²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]，∴2x₁²-1，2x₂²-1中一个为1，一个为-1，
∴

x1=0 x2=1

或

x1=-1 x2=0

∴所求的两点为(0，0)，(1，-

1

3

)或(0，0)，(-1，

1

3

)
（2）易知：sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]
对函数y=

2

3

x3-x??f′(x)=2x2-1=2(x-

2

2

)(x+

2

2

)∴当0＜x＜

2

2

时?
?f′（x）＜0，当

2

2

＜x＜1时?f′（x）＞0
∴f（x）在[0，

2

2

]为减函数，在[

2

2

，1]上为增函数
又f(0)=0，f(

2

2

)=-

2

3

Z??f(1)=-

1

3

Z
而f（x）在[-1，1]上为奇函数???
∴f（x）在[-1，1]上最大值为?

2

3

，最小值为-

2

3

?
∴|f(sinx)-f(cos)|≤f(x)max-f(x)min=

2 2

3

???????????

点评：本题主要考查了不等式的证明、利用导数研究函数的单调性，属于中档题．