Question

给出下列四个命题：
①函数y=

1

2

ln

1-cosx

2

与y=lnsin

x

2

是同一函数；
②若偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数；
③函数f(x)=2+x3sin(x+

π

2

)在区间，[-a，a]（a＞0）上的最大值与最小值的和为4；
④已知f（x）为定义在（-∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＜f′（x）对于x∈R恒成立，则f（2）＞e²•f（0）．
其中真命题的所有序号是

 

．

Answer 1

分析：利用某些函数的性质和转化关系是判断各个命题真假的关键，利用好对数函数的运算性质、抽象函数奇偶性、对称性与周期性的关系、奇偶性与单调性在求函数最值中的应用、导函数与原函数之间的关系等．

解答：解：由于y=

1

2

ln

1-cosx

2

=ln

1-cosx 2

=ln|sin

x

2

|，
故函数y=

1

2

ln

1-cosx

2

与y=lnsin

x

2

不是同一函数，故①错误；

f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），又f（x）=f（2-x），从而f（-x）=f（2-x），
即f（x）=f（2+x），因此f（x）为周期函数，故②正确；

函数f(x)=2+x3sin(x+

π

2

)=2+x3cosx，设g（x）=x³cosx，x∈[-a，a]为奇函数，设g（x）在[-a，a]上的最大值为M，则g（x）在[-a，a]上的最小值为-M，于是f（x）在[-a，a]上的最大值为2+M，则g（x）在[-a，a]上的最小值为2-M，因此f（x）在[-a，a]上的最大值与最小值的和为4；故③正确；

考虑g(x)=

f(x)

ex

，则g′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，由于f（x）＜f′（x），故g′（x）＞0（x∈R），故g（x）在x∈R上单调递增，得到g（2）＞g（0），即f（2）＞e²•f（0），故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查函数的性质及其应用，关键要熟悉相关的知识进行转化与求解，考查学生的等价转化思想，构造函数解决问题．属于中档题．