Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-bx（a，b∈R，且a≠0）．
（1）当b=2时，若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（2）当a＞0且2a+b=1时，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），再将函数f（x）存在单调递减区间问题转化为导函数f′（x）≤0在x∈(0，+∞)上有无穷多个解问题，最后可利用参变分离法，转化为求函数最值问题，得a的取值范围；（2）先将函数中的参数统一为a，再利用导数研究函数f（x）的单调性和极值、最值，最后利用这些性质研究函数的零点个数即可

解答：解：（1）当b=2时，函数f（x）=lnx-ax²-2x，其定义域是(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

-2ax-2=-

2ax2+2x-1

x

．
∵函数f（x）存在单调递减区间，
∴f′(x)=-

2ax2+2x-1

x

≤0在x∈(0，+∞)的一个子区间上恒成立．
∴关于x的不等式2ax²+2x-1≥0在x∈(0，+∞)的一个子区间上恒成立．
则关于x的不等式2a≥

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1在x∈(0，+∞)一个子区间上成立，
∴2a＞-1，即a＞-

1

2

，而a≠0．
∴a的取值范围为(-

1

2

，0)∪(0，+∞)．
（2）当b=1-2a时，函数f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x，其定义域是(0，+∞)，
∴f′(x)=

1

x

-2ax-(1-2a)=-

2ax2+(1-2a)x-1

x

．
令f′（x）=0，得

2ax2+(1-2a)x-1

x

=0，即2ax²+（1-2a）x-1=0，（x-1）（2ax+1）=0，
∵x＞0，a＞0，则2ax+1＞0，
∴x=1
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间(0，1)上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-a-b=-a-1+2a=a-1．
①当a=1时，f（1）=0，若x≠1，则f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
此时，函数f（x）与x轴只有一个交点，故函数f（x）只有一个零点；
②当a＞1时，f（1）＞0，
又f(

1

ea

)=ln

1

ea

-a•(

1

ea

)2-(1-2a)×

1

ea

=-a(

1

ea

-1)2-

1

ea

＜0，f（e）=lne-ae²-（1-2a）e=1-ae（e-2）-e＜0，
函数f（x）与x轴有两个交点，故函数f（x）有两个零点；
③当0＜a＜1时，f（1）＜0，函数f（x）与x轴没有交点，故函数f（x）没有零点．
综上所述：当a=1时，函数f（x）只有一个零点；
当a＞1时，函数f（x）有两个零点；
当0＜a＜1时，函数f（x）没有零点

点评：本题考查了导数在函数单调性中的应用，函数的单调性与导函数的零点分布间的关系，利用导数研究函数性质，进而解决函数根的分布和根的个数问题的方法，转化化归的思想方法