Question

已知函数f(x)=loga(

x2+1

+x)+

1

ax-1

+

3

2

（a＞0，a≠1），如果f(log

1

4

b)-f（log₄b）=8，（b＞0，b≠1），那么f(log

1

4

b)f（log₄b）的值是

-15

．

Answer 1

分析：根据函数的解析式可求得f（x）+f（-x）=2，故 f(log

1

4

b)+f（log₄b）=2．再由由f(log

1

4

b)-f（log₄b）=8，可得 f(log

1

4

b)=5，f（log₄b）=-3，
由此求得 f(log

1

4

b)•f（log₄b）的值．

解答：解：∵已知函数f(x)=loga(

x2+1

+x)+

1

ax-1

+

3

2

（a＞0，a≠1），
∴f（-x）=loga(

x2+1

-x)+

1

a-x-1

+

3

2

=loga

1

x2+1 +x

+

ax

1-ax

+

3

2

=-loga(

x2+1

+x)-

ax

ax+1

+

3

2

，
∴f（x）+f（-x）=2，∴f(log

1

4

b)+f（log₄b）=2．
再由f(log

1

4

b)-f（log₄b）=8，可得 f(log

1

4

b)=5，f（log₄b）=-3，故有 f(log

1

4

b)•f（log₄b）=5×（-3）=-15，
故答案为-15．

点评：本题主要考查求函数的值，求得 f(log

1

4

b)+f（log₄b）=2，是解题的关键，属于基础题．