Question

求征：m为任意实数时，直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5必过定点.

Answer 1

解析：分析1：由于m为任意实数，直线方程表示直线系，任取m的两个值，可得直线系中的两条直线，这两条直线的交点即是直线系过的定点.

证明：取m=1时，直线方程为y=-4.        ①

取m=时，直线方程为x=9.              ②

显然，直线①，②的交点为P(9，-4).

把点P的坐标代入原直线系方程的左端，得

(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)·9-(2m-1)·4=m-5,

故不论m为何实数，点P(9，-4)总在直线系(m-1)x+(2m+1)y=m-5上.

即此直线过定点P(9，-4).

分析2：m为任意实数，则方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5是对m而言的恒等式，根据恒等式定理，由m的一次项系数与常数项均等于零，就可得到直线系通过的定点坐标.

证明:将原方程按m的降幂排列，整理得

(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

此式对于m的任意实数值都成立，根据恒等式的要求，m的一次项系数与常数项均等于零，故有

解得

∴m为任意实数时，所给直线必通过定点(9，-4).