Question

已知棱长为1的正方体AC₁，E、F分别是B₁C₁、C₁D₁的中点．
（1）求证：E、F、D、B共面；
（2）求点A₁到平面的BDEF的距离；
（3）求直线A₁D与平面BDEF所成的角．

Answer 1

分析：（1）先证BD∥EF，通过EF，BD两直线共面，得E、F、D、B共面；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BDEF的一个法向量，点A₁到平面的BDEF的距离即为

DA1

在法向量方向上投影的绝对值；
（3）直线A₁D与平面BDEF所成的角的θ正弦值等于h与A₁D长度的比值．

解答：解：（1）∵EF∥D₁B₁，BD∥D₁B₁，∴BD∥EF，∴EF，BD两直线共面，E、F、D、B共面
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．则D（0，0，0）B（1，1，0）E（ 

1

2

，1，1）A₁（1，0，1）

DB

=（1，1，0），

DE

=（ 

1

2

，1，1）设平面BDEF的一个法向量为

n

=（x，y，z）
则

DB • n =0 DE • n =0

即

x+y=0 1 2 x+y+z=0

取x=2得量为

n

=（2，-2，1）

DA1

=（1，0，1）
点A₁到平面的BDEF的距离即为

DA1

在法向量方向上投影的绝对值即h=

| DA1 • n |

| n |

=

3

9

=1
（3）设直线A₁D与平面BDEF所成的角为θ，则sinθ=

h

| DA1 |

=

1 3

2

=

2

6

θ=arcsin

2

6

．

点评：本题考查平面的基本性质，线面角，点面距的计算，考查空间想象、计算能力．利用向量的数量积可减少思维难度．