题目内容

函数 $数学公式$ 的最大值为________．

$\text{[math]}$
分析：先将 $\text{[math]}$ 化成sinx-ycosx=4y+3，再利用三角函数的和角公式化成： $\text{[math]}$ sin（x+θ）=4y-3，最后利用三角函数的有界性即可求得值域．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，∴sinx-3=ycosx+4y，∴sinx-ycosx=4y+3
即 $\text{[math]}$ sin（x-θ）=4y-3，其中tanθ=y
∵ $\text{[math]}$ sin（x-θ）≤ $\text{[math]}$
∴- $\text{[math]}$ ≤4y+3≤ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ≤y≤ $\text{[math]}$
故函数 $\text{[math]}$ 的最大值为： $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，实质属于求三角函数的最值问题，属基本题．

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