题目内容

设数列为等比数列，数列满足，，已知，，其中．

（Ⅰ）求数列的首项和公比；

（Ⅱ）当m=1时,求；

（Ⅲ）设为数列的前项和，若对于任意的正整数，都有，求实数的取值范围．

 

【答案】

见解析

【解析】 （1）根据及，将减少变量，

求得，故；

（2）当m=1时既是等比数列与等差数列组成的差比数列的前n项和，

错位相减法得之：

（Ⅲ）是数列为等比数列的和；  分类讨论

解（Ⅰ）由已知，所以；…………1分

，所以，解得；

所以数列的公比；…………3分（Ⅱ）当时，，…………1分

，………………………①，

，……………………②，

②－①得，………3分

所以，

．…………5分

（Ⅲ），…………1分

因为，所以由得，………2分

注意到，当n为奇数时，；当为偶数时，，

所以最大值为，最小值为．…………4分

对于任意的正整数n都有，

所以，解得

 

练习册系列答案
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（2012•青浦区一模）设m＞3，对于项数m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，…，ak（k≤m）中最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1，2，…，m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}．
（1）若m=4，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列{cn}；
（2）是否存在数列{cn}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列{cn}的个数；若不存在，请说明理由．
（2013•房山区二模）设m＞3，对于项数为m的有穷数列{an}，令bk为a1，a2，a3…ak（k≤m）中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．考查自然数1、2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}．
（Ⅰ）若m=5，写出创新数列为3，5，5，5，5的所有数列{cn}；
（Ⅱ）是否存在数列{cn}的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有符合条件的数列{cn}的个数；若不存在，请说明理由．

定义：若数列满足，则称数列为“平方递推数列”。已知数列中，，点在函数的图像上，其中为正整数。

  （1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列。

  （2）设（1）中“平方递推数列”的前项之积为，即，求数列的通项及关于的表达式。

（3）记，求数列的前项之和，并求使的的最小值。

若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．

（1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；

（2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，

即，求；

（3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．

 

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．

（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

 

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