题目内容
(2012•青浦区一模)设m>3,对于项数m的有穷数列{an},令bk为a1,a2,…,ak(k≤m)中最大值,称数列{bn}为{an}的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2,…,m(m>3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{cn}.
(1)若m=4,写出创新数列为3,4,4,4的所有数列{cn};
(2)是否存在数列{cn}的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出满足所有条件的数列{cn}的个数;若不存在,请说明理由.
(1)若m=4,写出创新数列为3,4,4,4的所有数列{cn};
(2)是否存在数列{cn}的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由.
(3)是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出满足所有条件的数列{cn}的个数;若不存在,请说明理由.
分析:(1)由题意可得,创新数列为3,4,4,4的所有数列{cn}有两,即3,4,1,2和3,4,2,1.
(2)设数列{cn}的创新数列为{en},因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m,经检验,只有公比q=1时,数列{cn}才有唯一的一个创新数列.
(3)设存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列,当d=0时,{em}为常数列,满足条件;数列{cn}是首项为m的任意一个排列,共有
个数列.当d=1时,符合条件的数列{em}只能是1,2,3…m,此时数列{cn}是1,2,3…m,有1个.d≥2时,{em} 不存在.由此得出结论.
(2)设数列{cn}的创新数列为{en},因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m,经检验,只有公比q=1时,数列{cn}才有唯一的一个创新数列.
(3)设存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列,当d=0时,{em}为常数列,满足条件;数列{cn}是首项为m的任意一个排列,共有
A | m-1 m-1 |
解答:解:(1)由题意可得,创新数列为3,4,4,4的所有数列{cn}有两个,即3,4,1,2和3,4,2,1. (4分)
(2)存在数列{cn}的创新数列为等比数列.…(5分)
设数列{cn}的创新数列为{en},因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m. …(6分)
若{em}为等比数列,设公比为q,因为 ek+1≥ek (k=1,2,3…m-1),所以q≥1.…(7分)
当q=1时,{em}为常数列满足条件,即为数列为常数数列,每一项都等于m. …(9分)
当q>1时,{em}为增数列,符合条件的数列只能是1,2,3…m,又1,2,3…m不满足等比数列,综上符合条件的创新数列只有一个. …(10分)
(3)设存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列,…(11分)
设数列{cn}的创新数列为{em},因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m.若 {em}为等差数列,设公差为d,
因为 ek+1≥ek (k=1,2,3…m-1),所以 d≥0.且d∈N*. …(12分)
当d=0时,{em}为常数列,满足条件,即为数列 em=m,
此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列,共有
个数列; …(14分)
当d=1时,符合条件的数列{em}只能是1,2,3…m,此时数列{cn}是1,2,3…m,有1个; …(15分)
当d≥2时,∵em=e1+(m-1)d≥e1+2(m-1)=e1+m+m-2 又 m>3,∴m-2>0.
∴em>m 这与 em=m矛盾,所以此时{em} 不存在. …(17分)
综上满足条件的数列{cn}的个数为(m-1)!个. …(18分)
(2)存在数列{cn}的创新数列为等比数列.…(5分)
设数列{cn}的创新数列为{en},因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m. …(6分)
若{em}为等比数列,设公比为q,因为 ek+1≥ek (k=1,2,3…m-1),所以q≥1.…(7分)
当q=1时,{em}为常数列满足条件,即为数列为常数数列,每一项都等于m. …(9分)
当q>1时,{em}为增数列,符合条件的数列只能是1,2,3…m,又1,2,3…m不满足等比数列,综上符合条件的创新数列只有一个. …(10分)
(3)设存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列,…(11分)
设数列{cn}的创新数列为{em},因为em为前m个自然数中最大的一个,所以em=m.若 {em}为等差数列,设公差为d,
因为 ek+1≥ek (k=1,2,3…m-1),所以 d≥0.且d∈N*. …(12分)
当d=0时,{em}为常数列,满足条件,即为数列 em=m,
此时数列{cn}是首项为m的任意一个排列,共有
A | m-1 m-1 |
当d=1时,符合条件的数列{em}只能是1,2,3…m,此时数列{cn}是1,2,3…m,有1个; …(15分)
当d≥2时,∵em=e1+(m-1)d≥e1+2(m-1)=e1+m+m-2 又 m>3,∴m-2>0.
∴em>m 这与 em=m矛盾,所以此时{em} 不存在. …(17分)
综上满足条件的数列{cn}的个数为(m-1)!个. …(18分)
点评:本题主要考查等差关系的确定,等比关系的确定,创新数列的定义,属于中档题.
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