题目内容

证明f(x)=cos不是周期函数.

证明：假设f(x)=cos是周期函数，则有常数T(T≠0)，使得对任意x有

cos=cos.               ①

上式中，令x=0,则有cos=cos0=1.

∴=2mπ(m为整数，m≠0).     ②

在①中令x=T,有cos=cos=1,

∴=2nπ(n为整数，n≠0).      ③

③÷②可得.

而是无理数，是有理数，两者不能相等，

因此f(x)=cos不是周期函数.

练习册系列答案
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设平面向量
a
=（cosx，sinx），
b
=(cosx+2
3
，sinx)，
c
=(sinα，cosα)，x∈R，
（Ⅰ）若
a
⊥
c
，求cos（2x+2α）的值；
（Ⅱ）若x∈(0，
π
2
)，证明
a
和
b
不可能平行；
（Ⅲ）若α=0，求函数f(x)=
a
•(
b
-2
c
)的最大值，并求出相应的x值．
已知函数f(x)=cos(x-
π
4
)．先把y=f（x）的图象上所有点向左平移
π
4
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=
3
5
，α∈(
π
2
，
3π
2
)，求f（2α）的值；
（3）设g1（x），g2（x）是定义域为R的两个函数，满足g2（x）=g1（x+θ），其中θ是常数，且θ∈[0，π]．请设计一个函数y=g1（x），给出一个相应的θ值，使得g（x）=g1（x）•g2（x）．并予以证明．
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=
f(x)•g(x)    当x∈Df且x∈Dg
1      当x∈Df且x∉Dg
-1   当x∉Df且x∈Dg
．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．
已知函数f(x)=cos(x-
π
4
)．先把y=f（x）的图象上所有点向左平移
π
4
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）已知f(α)=
3
5
，α∈(
π
2
，
3π
2
)，求f（2α）的值；
（3）设g1（x），g2（x）是定义域为R的两个函数，满足g2（x）=g1（x+θ），其中θ是常数，且θ∈[0，π]．请设计一个函数y=g1（x），给出一个相应的θ值，使得g（x）=g1（x）•g2（x）．并予以证明．

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