题目内容
14．
如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N．（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
（3）在（2）中，我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子，这样的例子还有不少．下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征，试着将勾股定理推广到空间去．
| 勾股定理的类比 | 三角形ABC | 四面体O-ABC |
| 条件 | AB⊥AC | OA、OB、OC两两垂直 |
| 结论 | AB2+AC2=BC2 | ？ |
分析 （1）由题意和三棱柱的性质，证出 CC1⊥平面PMN，再证 CC1⊥MN．
（2）利用类比推理边“对应侧面面积”得出结论，证明用到余弦定理平行四边形的面积公式和题中的垂直关系．
（3）作OH⊥平面ABC，垂足为H，易得H为△ABC的垂心．连结CH并延长交AB于E，连结OE，则有OE⊥AB，证明$S_{△OAB}^2=\frac{1}{4}A{B^2}•（EH•EC）=（\frac{1}{2}AB•EH）•（\frac{1}{2}AB•EC）={S_{△HAB}}•{S_{△CAB}}$，$S_{△OAC}^2={S_{△HAC}}•{S_{△BAC}}$，$S_{△OBC}^2={S_{△HBC}}•{S_{△ABC}}$，即可得出结论．
解答 （1）证明：由题意知，CC1∥BB1，PM⊥BB1，PN⊥BB1，
∴CC1⊥PM，CC1⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC1⊥平面PMN，MN?平面PMN，
∴CC1⊥MN；（4分）
（2）解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有$S_{AB{B_1}{A_1}}^2=S_{BC{C_1}{B_1}}^2+S_{AC{C_1}{A_1}}^2-2S_{BC{C_1}{B_1}}^{\;}•S_{AC{C_1}{A_1}}^{\;}cosα$
其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角．（7分）
∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP，
在△PMN中，PM2=PN2+MN2-2PN•MNcos∠MNP
∴PM2•CC12=PN2•CC12+MN2•CC12-2（PN•CC1）•（MN•CC1）cos∠MNP，
∵${S}_{BC{C}_{1}{B}_{1}}$=PN•CC1，${S}_{AC{C}_{1}{A}_{1}}$=MN•CC1，${S}_{AB{B}_{1}{A}_{1}}$=PM•BB1，
∴有$S_{AB{B_1}{A_1}}^2=S_{BC{C_1}{B_1}}^2+S_{AC{C_1}{A_1}}^2-2S_{BC{C_1}{B_1}}^{\;}•S_{AC{C_1}{A_1}}^{\;}cosα$．（10分）
（3）空间勾股定理的猜想：
已知四面体O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，则有$S_{△OAB}^2+S_{△OAC}^2+S_{△OBC}^2=S_{△ABC}^2$（14分）
证明：作OH⊥平面ABC，垂足为H，易得H为△ABC的垂心．
连结CH并延长交AB于E，连结OE，则有OE⊥AB．
在△OAB中，${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}AB•OE⇒S_{△OAB}^2=\frac{1}{4}A{B^2}•O{E^2}$
在Rt△EOC中，OE2=EH•EC，
∴$S_{△OAB}^2=\frac{1}{4}A{B^2}•（EH•EC）=（\frac{1}{2}AB•EH）•（\frac{1}{2}AB•EC）={S_{△HAB}}•{S_{△CAB}}$
同理，$S_{△OAC}^2={S_{△HAC}}•{S_{△BAC}}$，$S_{△OBC}^2={S_{△HBC}}•{S_{△ABC}}$
于是$S_{△OAB}^2+S_{△OAC}^2+S_{△OBC}^2=（{S_{△HAB}}+{S_{△HAC}}+{S_{△HBC}}）•{S_{△ABC}}=S_{△ABC}^2$（18分）
点评 本题考查线面垂直关系的相互转化，还考查了类比推理，证明结论时利用余弦定理，加上适当的变形证出结论．
阅读快车系列答案甲厂：
| 分组 | [29.86， 29.90 ） | [29.90， 29.94） | [29.94， 29.98） | [29.9 8， 30.02） | [30.02， 30.06） | [30.06， 30.10） | [30.10， 30.14） |
| 频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
| 分组 | [29.86， 29.90） | [29.90， 29.94） | [29.94， 29.98） | [29.98， 30.02） | [30.02， 30.06） | [30.06， 30.10） | [30.10， 30.14） |
| 频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
（2）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
| 甲厂 | 乙厂 | 合计 | |
| 优质品 | |||
| 非优质品 | |||
| 合计 |
| p（K2≥k） | 0.05 | 0.01 |
| k | 3.841 | 6.635 |
| A． | $-\frac{1}{2}{a^2}$ | B． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$ | C． | $\frac{1}{2}{a^2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$ |