题目内容

设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为
π
8
的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f(a3)]2-a1a3=______．
∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=2（a1+a2+…+a5）-（cosa1+cosa2+…+cosa5），
∵{an}是公差为
π
8
的等差数列，
∴a1+a2+…+a5=5a3，由和差化积公式可得，
cosa1+cosa2+…+cosa5
=（cosa1+cosa5）+（cosa2+cosa4）+cosa3
=[cos（a3-
π
8
×2）+cos（a3+
π
8
×2）]+[cos（a3-
π
8
）+cos（a3+
π
8
）]+cosa3
=2cos
(a3-
π
4
)+(a3+
π
4
)
2
cos
(a3-
π
4
)-(a3+
π
4
)
2
+2cos
(a3-
π
8
)+(a3+
π
8
)
2
cos
(a3-
π
8
)-(a3+
π
8
)
2
+cosa3
=2cosa3•
2
2
+2cosa3•cos（-
π
8
）+cosa3
=cosa3（1+
2
+
2+
2
）
则cosa1+cosa2+…+cosa5的结果不含π，
又∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，
∴cosa3=0，故a3=
π
2
，
∴[f(a3)]2-a1a3=π2-（
π
2
-2•
π
8
）•
π
2
=π2-
π2
8
=
7π2
8
，
故答案为：
7π2
8
练习册系列答案
相关题目
2、设函数f（x）=2x+3，g（x）=3x-5，则f（g（1））=
-1
．
给定实数a（a≠
12
），设函数f（x）=2x+（1-2a）ln（x+a）（x＞-a，x∈R），f（x）的导数f′（x）的图象为C1，C1关于直线y=x对称的图象记为C2．
（Ⅰ）求函数y=f′（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于所有整数a（a≠-2），C1与C2是否存在纵坐标和横坐标都是整数的公共点？若存在，请求出公共点的坐标；若不若存在，请说明理由．
设函数f（x）=
(2x+1)(3x+a)
x
为奇函数，则a=
-
3
2
-
3
2
．
设函数f（x）=2x+x-4，则方程f（x）=0一定存在根的区间为（　　）
设函数f（x）=
-2x+m2x+n
（m、n为常数，且m∈R+，n∈R）．
（Ⅰ）当m=2，n=2时，证明函数f（x）不是奇函数；
（Ⅱ）若f（x）是奇函数，求出m、n的值，并判断此时函数f（x）的单调性．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网