Question

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-3，3]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由f（x）是R上的奇函数则由f（0）=0求出d，代入并求出导函数，因为当x=1时，f（x）取得极值-2得到f（1）=-2，
f′（1）=0代入求得a、b，得到函数的解析式；
（Ⅱ）求出f′（x）=0时x的解，利用导函数的正负来研究函数的单调区间；
（Ⅲ）思路是求出f（x）的最大值，m大于最大值即为恒成立，故利用导函数的增减性判断出f（x）的最大值即可得到m的取值范围．

解答：解：（I）由f（x）是R上的奇函数，有f（0）=0，所以d=0，
因此f（x）=ax³+cx，对函数f（x）求导得f′（x）=3ax²+c，
由题意得：f（1）=-2，f′（1）=0
所以

a+c=-2 3a+c=0

解得a=1，c=-3
因此f（x）=x³-3x
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3
令3x²-3＞0，解得x＜-1或x＞1；
令3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，
因此f（x）的单调区间为（-∞，-1）和（1，+∞）；
f（x）的单调减区间为（-1，1）．
（Ⅲ）令f′（x）=0，得x₁=-1或x₂=1
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

从上表可知，f（x）在区间[-3，3]上的最大值是18．
原命题等价于m大于f（x）在[-3，3]上的最大值，所以m＞18．
故m的取值范围是（18，+∞）

点评：考查学生利用导数研究函数增减性的能力，利用导数求函数极值的能力，理解不等式恒成立的条件．