Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C_lD₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为BB₁上一点，N为CC₁上一点
（1）求三棱锥A₁-AMN的体积．
（2）当M是BB₁的中点时，求证D₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析：（1）由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁知：CB⊥平面ABB₁A₁，故点N到平面ABB₁A₁的距离等于CB=1，由此能求出三棱锥A₁-AMN的体积．
（2）当M是BB₁的中点时，连接D₁M，D₁A，MA，则在△AMD₁中，D1M2+MA2=D1A2，由此能够证明D₁M⊥平面MAC．

解答：解：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C_lD₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁知：
CB⊥平面ABB₁A₁，
∴点N到平面ABB₁A₁的距离等于CB=1，
∵S△MAA1=

1

2

AA1×AB=1，
∴三棱锥A₁-AMN的体积V A1-AMN=VN-MAA1=

1

3

×S△MAA1×CB=

1

3

．
（2）当M是BB₁的中点时，连接D₁M，D₁A，MA，
则在△AMD₁中，D₁M=

1+1+1

=

3

，D1A=

4+1

=

5

，MA=

1+1

=

2

，
∴D1M2+MA2=D1A2，
∴∠AMD₁=90°，∴D₁M⊥AM，
又∵AM∩CM=M，
∴D₁M⊥平面MAC．

点评：本题考查三棱锥体积的求法，考查直线与平面垂直的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等积法和等价转化思想的灵活运用．