Question

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，我们得到一个关于数列基本量（首项和公比）的方程，由于首项为a，则易求出公式，然后根据等比数列的定义判断即可．
（2）由于T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2中累加的每一项都是由两部分的积组成，这两部分一部分是等差数列，一部分是等比数列，故可用错位相消法解答．
解答：（Ⅰ）证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，得4a₇=a₁+3a₄，
即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³-1）=0，
又∵公比q不等于1，所以4q³+1=0
由．．
得．
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅱ）解：T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3（n-1）．
即．①
①×得：…②．
①-②得=．
所以．
点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．