题目内容
如图，O是△ABC外任一点，若
，求证：G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．
【答案】分析：由题意O是△ABC外任一点，由
，利用向量的减法可以等价于：
，再有等价条件，利用向量的平行四边形法则及平面图形知识即可求证．
解答：
证明：由
?
?
?
?
，
由题意画出简图为：
由于
?
，
在图形中，利用平行四边行法则及两向量的加法原理可知：
就是以GA，GB为两相邻边的平行四边形的对角线GD，
由于四边形GADB为平行四边形，所以GD平分AB，即：
，所以
，∴
；
又GD，AB平分，所以点G在三角形ABC的边AB的中线上，
同理点G应该在BC边的中线上，利用重心的定义可知G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．
点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法，减法及平行四边行法则．
，利用向量的减法可以等价于：，再有等价条件，利用向量的平行四边形法则及平面图形知识即可求证．解答：
证明：由????，由题意画出简图为：
由于
?，在图形中，利用平行四边行法则及两向量的加法原理可知：
就是以GA，GB为两相邻边的平行四边形的对角线GD，由于四边形GADB为平行四边形，所以GD平分AB，即：
，所以，∴；又GD，AB平分，所以点G在三角形ABC的边AB的中线上，
同理点G应该在BC边的中线上，利用重心的定义可知G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．
点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法，减法及平行四边行法则．
练习册系列答案
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如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足
，求证：G是△ABC重心（即三条边上中线的交点）．