Question

如图所示,△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点.

(1)求证:MN⊥AB;

(2)求二面角S-ND-A的余弦值;

(3)求A到平面SND的距离.

Answer 1

(1)证明:取AC的中点E,则ME⊥平面ABC,

∴ME⊥AB.又EN∥BC,

∴EN⊥AB.故AB⊥平面MNE.

∴AB⊥MN.

(2)解:过A点作AF⊥ND于点F,易证

∠SFA为所求二面角,且在Rt△ABC中,D,N为BC,AB的中点,

由Rt△AFN∽Rt△DBN知

AF=,则tan∠SFA=.∴cos∠AFS=.

(3)解:设A到平面SND的距离为d,则

V_S—AND=·SA·S_△AND.

又V_S—AND=V_A—SND=·d·S_△SND=·d·DN·SF,

故d=.

或过点A作AH⊥SF于点H,则AH即为所求距离.解答略.