题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线
过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线的方程.
解：设椭圆方程为
（Ⅰ）由已知得
∴所求椭圆方程为
.
（Ⅱ）解法一：由题意知直线
的斜率存在，设直线的方程为
由
，消去y得关于x的方程：
由直线与椭圆相交于A、B两点，∴
解得
又由韦达定理得
原点
到直线的距离
.
解法1：对
两边平方整理得：
（*）
∵
，
整理得：
又
，∴
从而
的最大值为
，
此时代入方程（*）得
∴
所以，所求直线方程为：
.
解法2：令
，
则
∴
当且仅当
即
时，
此时.
所以，所求直线方程为
解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.
设直线l的方程为
，
则直线l与x轴的交点
，
由解法一知且，
解法1：
.
下同解法一.
解法2：
下同解法一.
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．