Question

已知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx（a＞0，b＞0），f（x）的最大值为1+a，最小值为-

1

2

．
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的二倍角公式及和角的正弦公式化简函数f（x）为f(x)=

a2+ b2 4

sin(2x+φ)+a，据f（x）的最值列出关于a，b的方程组，求出a，b的值，代入f（x），利用三角函数的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（II）令f（x）中的整体角满足：2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出x的范围，写成区间即为f（x）的单调递增区间．

解答：解：（I）f(x)=a(1+cos2x)+

b

2

sin2x=

a2+ b2 4

sin(2x+φ)+a，
由题设知

a2+ b2 4

=1，a-

a2+ b2 4

=-

1

2

，
所以a=

1

2

，b=

3

…（4分）
所以f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
所以f（x）的最小正周期为π…（7分）
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
所以f（x）单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)…（13分）

点评：解决三角函数的有关性质问题，一般先将三角函数化为只含一个角一个函数的形式，然后利用整体角处理的方法来解决，属于中档题．