Question

设函数f(x)=2x-

x2-1

(x≥1)
（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）求出最大的实数a，使得f（x）≥ax（x≥1）恒成立．

Answer 1

分析：（1）由x≥1，我们易将原不等式化为2x-2≥

x2-1

(x≥1)，根据不等式的性质a≥b≥0?a²≥b²≥0，我们将不等式两边平方后即可将原不等式转化为整式不等式，进行即可求解．
（2）使得f（x）≥ax（x≥1），即(2-a)x≥

x2-1

(x≥1)恒成立，由x≥1，我们易得2-a≤0，即a≥2时，不等式不可能恒成立，故我们仅须讨论2-a＞0，即a≤2时的情况，即可得到答案．

解答：解：（1）若f（x）≥2
即2x-

x2-1

≥2(x≥1)
即2x-2≥

x2-1

(x≥1)
即4x²-8x+4≥x²-1（x≥1）
即3x²-8x+5≥0（x≥1）
解得{x|x=1，或x≥

5

3

}
（2）若f（x）≥ax（x≥1）恒成立．
即2x-

x2-1

≥ax(x≥1)恒成立，
即(2-a)x≥

x2-1

(x≥1)恒成立，
若a≥2，则原不等式不可能恒成立，
若a＜2，则原不等式可化为（2-a）²x²≥x²-1（x≥1）
即（a²-4a+3）x²+1≥0（x≥1）恒成立
即a²-4a+3≥0
解得a≤1
故满足条件的a的最大值为1．

点评：本题考查的知识点是根式不等式的解法及不等式恒成立问题，在解答根式不等式时，根据a≥b≥0?a²≥b²≥0，去掉根号是解答的关键．