Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），（n∈N^*）．
（1）当t=2时，求证：是等差数列；
（2）若t＞0，试比较a_n+1与a_n的大小；
（3）在（2）的条件下，已知函数f（x）=（x＞0），是否存在正整数t，使得对一切n∈N^*不等式f（a_n+1）＜f（a_n）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，化简，可得-=，从而是以为公差的等差数列；
（2）先确定数列的通项，再利用作差比较法，即可得到结论；
（3）对一切n∈N^*不等式f（a_n+1）＜f（a_n）恒成立，可转化为a_n+1a_n-4＞0，{a_n}为递增数列，只需a₁a₂-4＞0，由此可得结论．
解答：（1）证明：当t=2时，
∴
∴=
∴-=
∴是以为公差的等差数列；
（2）解：∵=
∴==
令=b_n，则b_n+1=，b₁==2
∴，
∴=
∴
∴a_n=
∴a_n+1-a_n==[n（1+t+…+tⁿ）-（n+1）（1+t+…+t^n-1）]
=[（tⁿ-1）+…+（tⁿ-t^n-1）]=[（1+t+…+t^n-1）+t（1+t+…+t^n-2）+…+t^n-1]
显然t＞0（t≠1）时，a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n；
（3）解：∵f（a_n+1）-f（a_n）=-=＜0，a_n+1＞a_n
∴a_n+1a_n-4＞0，{a_n}为递增数列
∴只需a₁a₂-4＞0
∴（2t-3）（t²-2）-4＞0
令f（t）=（2t-3）（t²-2）-4，则f′（t）=6t²-6t-8
∴t＞2时，f′（t）＞0，函数为增函数
∵f（2）=-2＜0，f（3）=17＞0
∴满足题意的最小正整数t存在，最小值为3．
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．