Question

(本小题满分12分)已知椭圆  的焦点在  轴上，一个顶点的坐标是，离心率等于 ．

（Ⅰ）求椭圆  的方程；

（Ⅱ）过椭圆  的右焦点 作直线  交椭圆  于 两点，交  轴于点，若，，求证：  为定值．

Answer 1

(本小题满分12分)  

【解】（Ⅰ）设椭圆  的方程为，

则由题意知．              ------------2分

∴ ．即．∴ ．

∴ 椭圆  的方程为．      ^-------4分

（Ⅱ）方法一：设点的坐标分别为，

又易知点的坐标为．          ------------6分

∵ ，∴．

∴ ，．        -------------8分

将点坐标代入到椭圆方程中得：，

整理得：．  --------------10分

            同理，由可得：．

            ∴ ，是方程的两个根，

∴ ．            ^{-----------------12分}

方法二：设点的坐标分别为，

又易知点的坐标为．

显然直线  存在斜率，设直线  的斜率为 ，

则直线  的方程是 ．     ------------6分

      将直线  的方程代入到椭圆  的方程中，消去  并整理得

      ．         

      ∴ ，．       ------------8分

又 ∵ ，，

将各点坐标代入得，．     ---------10分

．------12分www..com