题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N且n≥2，都有 $数学公式$ 成立，求m的最大值；

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是 $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以 $\text{[math]}$ ，
故a_n=（n+1）•2ⁿ．

（2）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．
所以当n≥2时，f（n）的最小值为 $\text{[math]}$ ．
据题意， $\text{[math]}$ ，即m＜19．又m为整数，
故m的最大值为18．
分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，求得数列的递推式，进而整理得 $\text{[math]}$ 推断出数列 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列．根据S₁=2a₁-2²，求得a₁，进而根据等差数列的通项公式求得 $\text{[math]}$ ，则a_n可求得．
（2）把（1）中求得a_n代入 $\text{[math]}$ 中求得b_n，则B_3n-B_n可求令 $\text{[math]}$ ，进而表示出f（n+1）两式相减求得f（n+1）＞f（n），判断出数列{f（n）}为递增数列．进而求得数列的最小值，进而根据， $\text{[math]}$ ，求得m的范围．利用m为整数求得m的最大值．
点评：本题主要考查了等差数列的确定，数列的单调性的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．