Question

已知函数f（x）=log_a（2-ax）（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）判定f（x）的单调性
（Ⅱ）若f（x）在[0，1]上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求得函数f（x）的定义域为(-∞，

2

a

)．令u=2-ax，则y=log_au，u=2-ax在(-∞，

2

a

)上是减函数，分当a＞1时，和当0＜a＜1时两种情况，分别根据复合函数的单调性求得f（x）的单调性．
（Ⅱ）根据u=2-ax在[0，1]上是减函数，又y=log_a（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，可得a＞1．再由u_min=2-a＞0，从而求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵2-ax＞0，a＞0，∴x＜

2

a

，则函数f（x）的定义域为(-∞，

2

a

)．
令u=2-ax，则y=log_au，∵a＞0，∴u=2-ax在(-∞，

2

a

)上是减函数，
（1）当a＞1时，y=log_au在（0，+∞）上是增函数，则f（x）在(-∞，

2

a

)上是减函数，
（2）当0＜a＜1时，y=log_au在（0，+∞）上是减函数，则f（x）在(-∞，

2

a

)上是增函数．
（Ⅱ）设u=2-ax（0≤x≤1），则y=log_au，∵u＞0，∴u=2-ax在[0，1]上是减函数，又y=log_a（2-ax）在[0，1]上是x的减函数，
则y=log_au必为增函数，∴a＞1．
又∵u=2-ax＞0对0≤x≤1恒成立，u_min=2-a＞0，解得a＜2，
故1＜a＜2，
故a的范围为（1，2）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．