Question

已知函数f(x)=

2x-1

mx+1

（x∈R），且f(3)=

7

9

．
（1）判断函数y=f（x）在R上的单调性，并用定义法证明；
（2）若f(

1

x-1

)≥f(2)，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f(3)=

7

9

求出m的值，得到函数f（x）的解析式．任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，我们构造出f（x₂）-f（x₁）的表达式，根据实数的性质，我们易出f（x₂）-f（x₁）的符号，进而根据函数单调性的定义，得到答案．
（2）由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，根据题意脱去函数符号“f“，转化为关于x的分式不等式，解之即得．

解答：解：（1）由已知得

23-1

m3+1

=

7

9

，m³=8，∴m=2…（3分）
∴f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂则f(x2)-f(x1)=1-

2

2x2+1

-(1-

2

2x1+1

)=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵(2x1+1)＞0，(2x2+1)＞0，∴(2x1+1)(2x2+1)＞0
又∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，∴2x2-2x1＞0
∴

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函数y=f（x）在R上为单调增函数．                       …（9分）
（2）∵f(

1

x-1

)≥f(2)，由（1）知函数y=f（x）在R上为单调增函数，
∴

1

x-1

≥2，即

3-2x

x-1

≥0，
化简得1＜x≤

3

2

，
∴x的取值范围为{x|1＜x≤

3

2

}…（14分）（不写集合形式不扣分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，其中作差法（定义法）证明函数的单调性是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步骤．