Question

15．已知二次不等式ax²+2x+c≤0的解集为{x|x=-$\frac{1}{a}$}，且a＞c，则$\frac{a-c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{ac=1}\end{array}\right.$，化简$\frac{a-c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{a-c}{{（a-c）}^{2}+2}$；用换元法设a-c=t，t＞0，利用基本不等式求出f（t）的最大值即可．

解答 解：∵二次不等式ax²+2x+c≤0的解集为{x|x=-$\frac{1}{a}$}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{4-4ac=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{ac=1}\end{array}\right.$；
又a＞c，∴a-c＞0，
∴$\frac{a-c}{{a}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{a-c}{{（a-c）}^{2}+2ac}$=$\frac{a-c}{{（a-c）}^{2}+2}$；
设a-c=t，则t＞0，
∴f（t）=$\frac{t}{{t}^{2}+2}$=$\frac{1}{t+\frac{2}{t}}$；
又∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{t•\frac{2}{t}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$时取“=”；
∴f（t）≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
即$\frac{a-c}{{a}^{2}{+c}^{2}}$的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．