Question

已知椭圆=1,直线x+2y+18=0,在椭圆上求一点P₁,使得P₁到直线的距离最小;在椭圆上求一点P₂,使得P₂到直线的距离最大.

Answer 1

解法一:设与直线x+2y+18=0平行的直线方程为x+2y+m=0,

由消去x,得25y²+16my+4m²－36=0.                                                (*)

这个方程的判别式Δ=(16m)²－4×25×(4m²－36)=0.

解得m=±5,代入(*)得y=±.

因此,P₁(－,－)、P₂(,).

解法二:设椭圆上点P的坐标为(x,y),由椭圆的参数方程可知(θ为参数).

点P到直线x+2y+18=0的距离为

d=|3cosθ+4sinθ+18|=|5sin(θ+)+18|.

其中sin=,cos=.

当θ+=2kπ+(k∈Z)时,d_max=.

此时x=3cosθ=3cos［(2kπ+)－］=3sin=,

y=2sinθ=2cos=.

当θ+=2kπ－(k∈Z)时,d_min=.

此时,x=3cosθ=3cos(2kπ－－)=?－3sin?=－,y=2sinθ=2sin(2kπ－－)=

－2cos=－.

综上所述,得P₁、P₂的坐标分别为P₁(－,－),P₂(,).