Question

设函数f（x）=Ax³+Bx²+Cx+6A+B，其中实数A，B，C满足：①-8B+1≤12A+4C≤8B+9，②3A＜-B≤6A
（Ⅰ）求证：f′(1)≥

1

4

；f′(-1)≤

9

4

；
（Ⅱ）设0≤x≤π，求证：f（2sinx）≥0．

Answer 1

分析：（I）根据题中的两个不等式，化简变形得3A+2B+C≥

1

4

，3A-2B+C≤

9

4

．再求出函数f（x）的导数，算出f'（1）=3A+2B+C且f'（-1）=3A-2B+C，可得不等式f′(1)≥

1

4

，f′(-1)≤

9

4

成立；
（II）由sinx在0≤x≤π时的值域得：欲原不等式成立，即证明当0≤x≤2时f（x）≥0．再根据f'（x）=3Ax²+2Bx+C的图象是开口向上的、关于直线x=-

B

3A

对称的抛物线，结合二次函数的性质加以分析，利用题中条件进行不等式的放缩和配方，可得：0≤x≤2时f'（x）≥

9

8

f'（1）-

1

8

f'（-1）≥

9

8

×

1

4

-

1

8

×

9

4

=0，得f（x）在区间[0，2]上为增函数，从而当0≤x≤2时，f（x）≥f（0）=6A+B≥0．因此得到当0≤x≤π时，原不等式成立．

解答：解：（I）∵-8B+1≤12A+4C≤8B+9
∴3A+2B+C≥

1

4

，3A-2B+C≤

9

4

，
又∵f（x）=Ax³+Bx²+Cx+6A+B，可得f'（x）=3Ax²+2Bx+C
∴f'（1）=3A+2B+C≥

1

4

，f'（-1）=3A-2B+C≤

9

4

，
即不等式f′(1)≥

1

4

，f′(-1)≤

9

4

成立；
（II）当0≤x≤π时，sinx∈[0，1]
因此不等式f（2sinx）≥0等价于当u∈[0，2]时，f（u）≥0
只须证明当0≤x≤2时，f（x）≥0
由条件②：3A＜-B≤6A，可得A＞0且-

B

3A

∈（1，2]
∴f'（x）=3Ax²+2Bx+C是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x=-

B

3A

∈（1，2]
又∵3A＜-B≤6A∴（3A+B）（6A+B）≤0，可得-B²≥18A²+9AB
∴当0≤x≤2时，有f'（x）≥f'（-

B

3A

）=

12AC-4B2

12A

=

3AC-B2

3A

≥

3AC+18A2+9AB

3A

∵

3AC+18A2+9AB

3A

=C+6A+3B=（3A+2B+C）+（3A+B）≥（3A+2B+C）+（-

B

2

）+B≥（3A+2B+C）+

B

2

∴当0≤x≤2时，有
f'（x）≥f'（1）+

1

2

×

1

4

[f'（1）-f'（-1）]≥

9

8

f'（1）-

1

8

f'（-1）≥

9

8

×

1

4

-

1

8

×

9

4

=0
因此，f（x）在区间[0，2]上为增函数，
可得当0≤x≤2时，f（x）≥f（0）=6A+B≥0．
综上所述，当0≤x≤π时，不等式f（2sinx）≥0成立．

点评：本题利用导数研究函数的单调性，并且证明关于x的不等式恒成立．着重考查了导数的运算法则、导数与单调性的关系、二次函数的图象与性质和函数与不等式恒成立的证明等知识，属于难题．请同学们注意解题过程中的转化化归、数形结合、函数方程的思想，并关注不等式的证明中放缩的技巧．