Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

2an-1

an

 (n∈N+)
（1）证明{

1

an-1

}为等差数列，并求a_n；
（2）若cn=(an-1)•(

8

7

)n，求数列{c_n}中的最小值．
（3）设f(n)=

nan+4     n为奇数 3 an-1 +2  n为偶数

（n∈N⁺），是否存在m∈N⁺使得f（m+15）=5f（m）成立？

Answer 1

分析：（1）由题意可得对于原等式两边同时减1，并且整理取倒数可得：

1

an+1-1

=1+

1

an-1

，进而得到 {

1

an-1

}是等差数列，并且得到 an=1+

1

n

．
（2）由（1）可得：cn=

1

n

×(

8

7

)n，根据题意设{c_n}中最小者为c_m，则有 

cm≤cm+1 cm≤cm-1

，解得 

m≥7 m≤8

，进而得到答案．
（3）由已知得f(n)=

n+5 3n+2

n为奇数 n为偶数

，再分别同理m为奇数、偶数代入表达式，进而求出m的值即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：an+1-1=

2an-1

an

-1=

an-1

an

，
所以 

1

an+1-1

=

an

an-1

=1+

1

an-1

…（2分）
所以 {

1

an-1

}是首项为

1

a1-1

=1，公差为1的等差数列，
并且 

1

an-1

=1+(n-1)×1=n，
所以可得：an=1+

1

n

…（4分）
（2）由（1）可得：cn=

1

n

×(

8

7

)n，根据题意设{c_n}中最小者为c_m
所以有 

cm≤cm+1 cm≤cm-1

，即 

1 m ×( 8 7 )m≤ 1 m+1 ×( 8 7 )m+1 1 m ×( 8 7 )m≤ 1 m-1 ×( 8 7 )m-1

…（6分）
解得 

m≥7 m≤8

…（8分）
所以{c_n}中最小值为c7=c8=

87

78

…（9分）
（3）由已知得f(n)=

n+5 3n+2

n为奇数 n为偶数

…（10分）
①当m为奇数时，m+15为偶数，则 有f（m+15）=5f（m），
所以由题意可知：3（m+15）+2=5（m+5），解得 m=11…（12分）
②当m为偶数时，m+15为奇数，则 有（m+15）+5=5（3m+2），所以解得m=

5

7

（舍去），
故存在m=11使得等式成立…（13分）

点评：本题主要考查等差关系的确定与求等差数列的通项公式，以及求数列的最大项等基础问题，此题属于中档题型，高考经常涉及．