Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.

   （Ⅰ）求证AM∥平面BDE；

   （Ⅱ）求二面角A―DF―B的大小；

Answer 1

（Ⅰ）证明：记AC与BD的交点为O,连接OE,

    ∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。

   （II）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角。

    ASB中，

∴

∴二面角A―DF―B的大小为60º。

方法二

   （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

      

    设，连接NE，

    则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,

    ∴=(,

    又点A、M的坐标分别是

  （）、（

  ∴ =（

∴且NE与AM不共线，

∴NE∥AM。

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF。

   （Ⅱ）解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF。

∴为平面DAF的法向量。

∵ =（?=0，

∴ =（?=0得

，

∴NE为平面BDF的法向量。

与的夹角是60º。

即所求二面角A―DF―B的大小是60º。