Question

已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）图象上的任意两点，若|y₁-y₂）=2时，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

，且函数f（x）的图象经过点（0，

1

2

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinAsinC+cos2B=1，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据三角函数的周期公式，结合题意算出ω=2，再根据f（0）=

1

2

和0＜φ＜

π

2

，得出φ=

π

6

即可得到函数f（x）的解析式；
（II）化简题中三角等式，得2sinAsinC=2sin²B，由正弦定理得ac=b²，再利用余弦定理与基本不等式算出cosB≥

1

2

，从而可得B∈（0，

π

3

]．算出2B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]，即可得到f（B）=sin（2B+

π

6

）的取值范围．

解答：解：（I）由题意，可知

T

2

=

π

2

，∴周期T=

2π

ω

=π，可得ω=2
∵f（0）=sinφ=

1

2

，0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

由此可得f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+

π

6

）                    …（6分）
（II）∵2sinAsinC+cos2B=1，
∴2sinAsinC=1-cos2B=2sin²B，
根据正弦定理，得ac=b²
又∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，可得B∈（0，

π

3

]
∴2B+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

]，得

1

2

≤sin（2B+

π

6

）≤1
因此，f（B）=sin（2B+

π

6

）的取值范围为[

1

2

，1]…（14分）

点评：本题求三角函数式的表达式，并由此求f（B）的取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．