Question

已知函数f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1．
（Ⅰ）求f(

π

2

)和f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f(

α

2

+

5π

8

)=-

3 2

5

，α是第二象限的角，求cos(

π

3

+α)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用解析式直接求解f(

π

2

)，利用二倍角以及两角和与差的三角函数化简f（x）的表达式，利用正弦函数的值域求出函数的最大值；
（Ⅱ）利用f(

α

2

+

5π

8

)=-

3 2

5

，求出sinα的值，通过同角三角函数的基本关系式以及两角和与差的三角函数展开cos(

π

3

+α)，求解即可．

解答：（本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1，
∴f(

π

2

)=2-1=1，…（2分）
∵f（x）=2sin²x+2sinxcosx-1
=1-cos2x+sin2x-1
=sin2x-cos2x     …（4分）
=

2

(

2

2

sin2x-

2

2

cos2x)
=

2

(sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

)
=

2

sin(2x-

π

4

)…（6分）
当x=kπ+

3

8

π，k∈Z时最大值为

2

．…（7分）
（Ⅱ）f(

α

2

+

5π

8

)=

2

sin[2(

α

2

+

5π

8

)-

π

4

]=-

2

sinα…（8分）
∴-

2

sinα=-

3 2

5

∴sinα=

3

5

…（9分）
∵α是第二象限的角∴cosα=-

1-sin2α

=-

1-(- 3 5 )2

=-

4

5

…（10分）
∴cos(

π

3

+α)=cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα…（11分）
=

1

2

×(-

4

5

)-

3

2

×

3

5

=-

4+3 3

10

．…（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦函数的性质及和差角公式在求值中的应用，考查计算能力．