Question

设数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}满足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，b2=

3m

2

，其中m≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项和公比；
（Ⅱ）当m=1时，求b_n；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S_n∈[1，3]，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知b₁=a₁，
所以a₁=m
b₂=2a₁+a₂，
所以2a1+a2=

3

2

m，
解得a2=-

m

2

，
所以数列{a_n}的公比q=-

1

2

．
（Ⅱ）当m=1时，an=(-

1

2

)n-1，
b_n=na₁+（n-1）a₂++2a_n-1+a_n①，
-

1

2

bn=na2+(n-1)a3++2an+an+1②，
②-①得
-

3

2

bn=-n+a2+a3++an+an+1
所以-

3

2

bn=-n+

- 1 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=-n-

1

3

[1-(-

1

2

)n]，
bn=

2n

3

+

2

9

-

2

9

(-

1

2

)n=

6n+2+(-2)1-n

9

（Ⅲ）Sn=

m[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=

2m

3

•[1-(-

1

2

)n]
因为1-(-

1

2

)n＞0，
所以，由S_n∈[1，3]得

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
注意到，当n为奇数时1-(-

1

2

)n∈(1，

3

2

]，
当n为偶数时1-(-

1

2

)n∈[

3

4

，1)，
所以1-(-

1

2

)n最大值为

3

2

，最小值为

3

4

．
对于任意的正整数n都有

1

1-(- 1 2 )n

≤

2m

3

≤

3

1-(- 1 2 )n

，
所以

4

3

≤

2m

3

≤2，2≤m≤3．
即所求实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．