Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=pS_n+q（p，q为常数，n∈N^*），a₁=2，a₂=1，a₃=q-3p．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，知

S2=pa1+q S3=pS2+q

，解之得

p= 1 2 q=2

，由Sn+1=

1

2

Sn+2，当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由Sn=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)，

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

，得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

2m

2m+1

，即

2

2n(4-m)-2

＞

1

2m+1

，因为2^m+1＞0，所以2ⁿ（4-m）＞2，由此能够推导出存在符合条件的所有有序实数对（m，n）．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意，知

S2=pa1+q S3=pS2+q

，
即

3=2p+q 3+q-3p=3p+q

，
解之得

p= 1 2 q=2

…（2分）
∴Sn+1=

1

2

Sn+2，①
当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2，②
①-②得，an+1=

1

2

an(n≥2)，…（4分）
又a2=

1

2

a1，所以an+1=

1

2

an(n∈N*)，
所以{a_n}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列，
所以an=

1

2n-2

．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，Sn=

2(1- 1 2n )

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)，
由

Sn-m

Sn+1-m

＜

2m

2m+1

，得

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

2m

2m+1

，
即

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

2m

2m+1

，…（10分）
即

2

2n(4-m)-2

＞

1

2m+1

，
因为2^m+1＞0，所以2ⁿ（4-m）＞2，
所以m＜4，且2＜2ⁿ（4-m）＜2^m+1+4，（*）
因为m∈N^*，所以m=1或2或3．…（12分）
当m=1时，由（*）得，2＜2ⁿ×3＜8，所以n=1；
当m=2时，由（*）得，2＜2ⁿ×2＜12，所以n=1或2；
当m=3时，由（*）得，2＜2ⁿ＜20，所以n=2或3或4，
综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为：
（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．…（14分）

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．注意培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．