Question

【题目】已知数列{an}满足：a1= ，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）．
（Ⅰ）求a2 ， a3；并证明：2 ﹣ ≤an≤ 3 ；
（Ⅱ）设数列{an2}的前n项和为An ， 数列{ }的前n项和为Bn ， 证明： = an+1 ．

Answer 1

【答案】解：（I）a2=a12+a1= = ， a3=a22+a2= = ．
证明：∵an=an﹣12+an﹣1 ，
∴an+ =an﹣12+an﹣1+ =（an﹣1+ ）2+ ＞（an﹣1+ ）2 ，
∴an+ ＞（an﹣1+ ）2＞（an﹣2+ ）4＞＞（an﹣3+ ）8＞…＞（a1+ ） =2 ，
∴an＞2 ﹣ ，
又∵an﹣an﹣1=an﹣12＞0，∴an＞an﹣1＞an﹣2＞…＞a1＞1，
∴an2＞an ，
∴an=an﹣12+an﹣1＜2a ，
∴an＜2a ＜222 ＜2224 ＜…＜22224…2 a1
=2 （ ） = 3 ．
综上，2 ﹣ ≤an≤ 3 ．
（II）证明：∵an=an﹣12+an﹣1 ， ∴an﹣12=an﹣an﹣1 ，
∴An=a12+a22+a32+…an2=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an+1﹣an）=an+1﹣ ，
∵an=an﹣12+an﹣1=an﹣1（an﹣1+1），
∴ = = ，
∴ = ，
∴Bn= …+ =（ ）+（ ）+（ ﹣ ）+…+（ ）
= ﹣ ．
∴ = = ．
【解析】（I）分别令n=2，3即可计算a2 ， a3 ， 配方得an+ ＞（an﹣1+ ）2 ， 利用{an+ }的增减性得出不等式2 ﹣ ≤an ， 利用{an}增减性得出an≤ 3 ；（II）分别使用因式分解和裂项法计算An ， Bn ， 即可得出结论．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．