Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=

π

3

．
（I）设向量

m

=(a，b)，

n

=(b-2，a-2)，若

m

⊥

n

，求△ABC的面积；
（Ⅱ）若

sinA

cosB

＞

3

，求角B的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由向量垂直满足的条件，根据平面向量的数量积的运算法则化简

m

•

n

=0，得到一个关系式，然后由c和C的值，利用余弦定理表示出关于a与b的关系式，把求出的关系式代入即可求出ab的值，由ab的值及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积；
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用含B的式子表示出A，代入已知的式子中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，得到tanB的范围，由B的范围，利用正切函数的图象与性质即可求出B的具体范围．

解答：解：（I）由题意可知

m

•

n

=0，
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
∴a+b=ab．（3分）
由余弦定理可知，4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
即（ab）²-3ab-4=0，
∴ab=4（舍去ab=-1），
则S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

；（7分）
（Ⅱ）∵A+B=

2π

3

，
∴

sinA

cosB

=

sin( 2π 3 -B)

cosB

=

sin 2π 3 cosB-cos 2π 3 sinB

cosB

=

3

2

+

1

2

tanB＞

3

即tanB＞

3

，
∵0＜B＜

2π

3

，
∴

π

3

＜B＜

π

2

．（14分）

点评：此题考查学生掌握平面向量垂直时满足的条件，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，掌握正切函数的图象与性质，是一道中档题．