Question

已知函数f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx的周期为2π，其中ω＞0．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，设内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a=

3

，c=2，f（A）=

3

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数f（x）进行化简，利用周期求ω，然后利用三角函数的图象和性质求单调增区间即可．
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

，再由a，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
∵T=2π，∴ω=

1

2

，
即f（x）=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=sin（A+

π

6

）+

1

2

=

3

2

，
得到sin（A+

π

6

）=1，
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
∵a=

3

，c=2，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得：3=b²+4-2b，
即b²-2b+1=0，
解得：b=1．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，余弦定理，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．