Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，且f（x）的导函数f′（x）＞x-1，则不等式f(x)＜

1

2

x2-x+1的解集为（　　）

A．{x|-2＜x＜2}

B．{x|x＞2}

C．{x|x＜2}

D．{x|x＜-2或x＞2}

Answer 1

分析：通过对题目的分析，可构造函数g（x）=f（x）-

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2

x2+x，利用函数g（x）的单调性即可解出．

解答：解：令g（x）=f（x）-

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2

x2+x，对g（x）求导，得g′（x）=f′（x）-x+1，
∵f′（x）＞x-1，∴g′（x）＞0，即g（x）在R上为增函数．
不等式f(x)＜

1

2

x2-x+1可化为f（x）-

1

2

x2+x＜1，即g（x）＜g（2），
由g（x）单调递增得x＜2，所以不等式的解集为{x|x＜2}．
故选C．

点评：本题考查了灵活利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，据已知恰当构造函数是解决本题的关键．