Question

已知函数f(x)=ln

1

x

-ax2+x(a＞0)．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（I）先求出f（x）的定义域，对f（x）进行求导，求出f（x）的导数，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
（II）根据第一问知道函数的单调性，可得方程f′（x）=0的两个根为x₁，x₂，代入f（x₁）+f（x₂），对其进行化简，可以求证f（x₁）+f（x₂）的最小值大于3-2ln2即可；

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，-∞），
f′（x）=-

1

x

-2ax+1=

-2ax2+x-1

x

a＞0，设g（x）=-2ax²+x-1，△=1-8a，
（1）当a≥

1

8

，△≤0，g（x）≤0，
∴f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，
（2）当0＜a＜

1

8

时，△＞0，f′（x）=0可得x₁=

1- 1-8a

4a

，x₂=

1+ 1-8a

4a

，
若f′（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得0＜x＜x₁或x＞x₂，f（x）为减函数，
∴函数f（x）的减区间为（0，x₁），（x₂，+∞）；增区间为（x₁，x₂）；
（II）由（I）当0＜a＜

1

8

，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

，
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-ax₁²+x₁-lnx₂-ax₂²+x₂
=-ln（x₁x₂）-a（x₁²+x₂²）+（x₁+x₂）=-ln（x₁x₂）-a（x₁+x₂）²+2ax₁x₂+（x₁+x₂）
=-ln

1

2a

-a×

1

4a2

+2a×

1

2a

=ln（2a）+

1

4a

+1=lna+

1

4a

+ln2+1
设h（a）=lna+

1

4a

+ln2+1，
h′（a）=

1

a

-

1

4a2

=

4a-1

4a2

＜0（0＜a＜

1

8

），
所以h（a）在（0，

1

8

）上递减，
h（a）＞h（

1

8

）=ln

1

8

+

1

4× 1 8

+ln2+1=3-2ln2，
所以f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的最值问题及其应用，第二问是一道证明题难度比较大，考查了学生的计算能力，是一道中档题；