题目内容
如图，在四棱锥
中，底面
是边长为1的菱形，
，
底面
，
，
为
的中点，
为
的中点，
于
，如图建立空间直角坐标系.
（1）求出平面
的一个法向量并证明
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）证明详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：这是一道应用空间向量解决空间平行与空间角问题的试题.（1）先确定
、
、
的坐标，然后设出平面
的一个法向量为
，由
确定的一个取值，最后验证
，即可作出
平面
的判断；（2）先找到
的一个法向量为
，然后计算
，最后结合图形，确定二面角
的余弦值是
，还是
.
试题解析：由题设知：在
中，
、
、
、
4分
（1）
5分
，
6分
设平面的一个法向量为
则
令
，得
8分
∵
∴平面 10分
（2）由（1）得平面
的法向量，平面的一个法向量为 12分
设二面角的平面角为
，则
即二面角的余弦值为 14分.
考点：1.空间向量的解决空间平行中的应用；2.空间向量在解决空间角中的应用.
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